Mathematik mit Excel: Parabeln berechnen

Parabeln, der Begriff ist Dir sicher aus der Mathematik bekannt, sind der Gegenstand des heutigen Beitrags.

Es wird darum gehen, aus quadratischen Gleichungen Parabeln mit Excel zu zeichnen sowie Nullstellen und Scheitelpunkte zu berechnen.

1. Was ist eine Parabel?

Wikipedia beschreibt Parabeln so:

In der Mathematik ist eine Parabel … eine Kurve zweiter Ordnung und ist daher über eine algebraische Gleichung zweiten >Grades beschreibbar. Neben dem Kreis, der Ellipse und der Hyperbel zählt sie zu den Kegelschnitten. Sie entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft und nicht durch die Kegelspitze geht. [1]

Sehr gut siehst Du eine Parabel als rote Linie in dieser Abbildung [2]:

Parabel1   Abb.: Parabel_3D.jpg

2. Quadratische Funktionen und Parabeln

Als quadratische Funktionen werden Funktionen bezeichnet, die folgende Form haben:

Parabel2

Dabei muss a stets ungleich 0 sein.

Eine Parabel ist dabei die zeichnerische Darstellung einer aus der Funktion erzeugten Wertetabelle.

Da jeweils Nullstellen und Scheitelpunkt berechnet werden sollen, werden im Beitrag 2 Varianten betrachtet.

  1. Parabel ist nach oben geöffnet, Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse
  2. Parabel ist nach unten geöffnet, Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse

3. Parabel ist nach oben geöffnet, Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse

Eine typische Funktionsgleichung für diese Variante ist

Parabel3

Bilde für den Bereich x = -3 bis x = 3 eine Wertetabelle.

Parabel4

Schreibe in C5 die Formel

=B5^2-2

und ziehe sie bis C11 herunter.

Erstelle daraus ein Liniendiagramm.

Parabel5

Formatiere die horizontale und die vertikale Achse. Glätte die Linie.

Der Scheitelpunkt bei der nach oben offenen Parabel ist der kleinste y-Wert in der Wertetabelle. Schreibe in C13:

=MIN(C5:C11)

=-2

Den zugehörigen x-Wert kannst Du mit INDEX und VERGLEICH ermitteln.

Schreibe in C15:

 =INDEX(B5:C11;VERGLEICH(C13;C5:C11;0);1)

=0

Für die Nullstellenberechnung setzt Du die Funktionsgleichung gleich 0.

Parabel6

Löse die Gleichung jetzt mit der pq-Formel.

Bringe dazu die Gleichung in die Form

Parabel7

p ist in diesem Fall 0, q ist -2-

Berechne nun die beiden x-Werte:

Parabel8

4. Parabel ist nach unten geöffnet, Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse

Eine typische Funktionsgleichung für diese Variante ist:

Parabel9

Bilde für den Bereich x = -3 bis x = 3 eine Wertetabelle.

Parabel10.png

Schreibe in C5 die Formel

=-0,5*B5^2+3

und ziehe sie bis C11 herunter.

Erstelle daraus ein Liniendiagramm.

Parabel11

Formatiere die horizontale und die vertikale Achse. Glätte die Linie.

Der Scheitelpunkt bei der nach unten geöffneten Parabel ist der größte y-Wert in der Wertetabelle. Schreibe in C13:

=MAX(C5:C11)

=3

Den zugehörigen x-Wert kannst Du mit INDEX und VERGLEICH ermitteln. Schreibe in C15

=INDEX(B5:C11;VERGLEICH(C13;C5:C11;0);1)

=0

Für die Nullstellenberechnung setzt du die Funktionsgleichung gleich 0.

Parabel12

Wandle die Gleichung um, indem du sie durch -0,5 dividierst:

Parabel17

Löse auch diese Gleichung mit der pq-Formel, setze die Gleichung dazu in die Form

Parabel7

p ist in diesem Fall 0, q ist -6.

Parabel16

Damit sind die Nullstellen für diese Funktionsgleichung berechnet, vergleiche dazu das Liniendiagramm.

 

Quellen:

[1]

https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)

[2]

https://www.mathe-online.at/lernpfade/Lernpfad759/?kapitel=2&navig=l

 

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