Die Excel-Funktion Standardabweichung

Stell Dir vor, Du hast eine ganze Menge an Messdaten zusammengetragen. Angenommen, es sind zwei mal 135 Werte. Welcher Art diese Messwerte sind, sei hier noch unerheblich, konkret wird es mit dem Beispiel im Beitrag.

Mit der Funktion MITTELWERT berechnest Du einen Mittelwert. Die Frage ist nun: Wie repräsentativ ist dieser Mittelwert?

1. Begriff Standardabweichung

Eine geeignete Funktion zur Beurteilung der Richtigkeit eines Mittelwertes ist die Standardabweichung. Damit bewegst Du Dich im Reich der Deskriptiven Statistik.

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streubreite der Werte eines Merkmals um dessen Mittelwert (arithmetisches Mittel) oder anders ausgedrückt, sie stellt die durchschnittliche Entfernung aller Messwerte eines Merkmals vom Durchschnitt dar.

Die Standardabweichung ist allerdings nur dann ein aussagefähiges Merkmal, wenn es sich um einen normalverteilten Datenbestand handelt.

Ob Deine Daten normalverteilt sind, kannst Du in einem ersten Schritt z.B. mit einem Histogramm feststellen. Wie ein solches erstellt wird, habe ich Dir hier gezeigt.

2. Beispiel Körpergröße nach Ländern

In 135 Ländern der Erde wurde die durchschnittliche Körpergröße von Männern und Frauen im Alter zwischen 18 und 40 Jahren ermittelt. [1]

Betrachte diese Daten so, als ob in jedem Land die Körpergröße von jeweils einem Mann und einer Frau mit genau diesen Größen gemessen wurden. Da Dir die Grundgesamtheit aller Messungen nicht vorliegt, musst Du hier mit fiktiven Daten von 135 Männern und 135 Frauen arbeiten.

Die Datei mit den Daten kannst Du Dir hier herunter laden: Standardabweichung

Hier ein Auszug:

Standardabweichung1

Ob es sich um einen normalverteilten Datenbestand handelt, hast Du schon mal mit einem Histogramm ermittelt.

Standardabweichung2 Standardabweichung3

Das Histogramm lässt auf Normalverteilung schließen.

Nun berechnest Du die Mittelwerte mit diesen Formeln:

  • Männer =MITTELWERT(Tabelle2!C13:C147) =1,7242963
  • Frauen =MITTELWERT(Tabelle2!D13:D147) = 1,60185185

3. Berechnung der Standardabweichung

Betrachte den Datenbestand als Stichprobe, denn die Grundgesamtheit ist Dir nicht bekannt.

Excel bietet Dir diese Funktionen an:

  • STABW.N berechnet die Standardabweichung ausgehend von einer als Argumente angegebenen Grundgesamtheit (logische Werte und Text werden ignoriert).
  • STABW.S schätzt die Standardabweichung ausgehend von einer Stichprobe (logische Werte und Text werden in der Stichprobe ignoriert).

Da Du eine Stichprobe vorliegen hast, verwendest Du die Funktion STABW.S.

Syntax: STABW.S(Zahl1;[Zahl2];…)

Dabei gilt:

  • Zahl1 ist erforderlich. Das erste numerische Argument, das einer Stichprobe einer Grundgesamtheit entspricht. Anstelle der getrennten Argumente kannst Du auch eine Matrix oder einen Bezug auf eine Matrix angeben.
  • Zahl2 ist optional. 2 bis 254 numerische Argumente, die einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit entsprechen. Anstelle der getrennten Argumente kannst Du auch eine Matrix oder einen Bezug auf eine Matrix angeben.

Nun berechnest Du die Standardabweichung für die Messreihen Männer bzw. Frauen:

  • Männer =STABW.S(Tabelle2!C13:C147) =0,05399752 =3,13% vom Mittelwert
  • Frauen =STABW.S(Tabelle2!C13:C147) =0,04660384 =2,91% vom Mittelwert

Gerundet ist die durchschnittliche Entfernung der Messwerte vom Mittelwert:

  • Männer 0,054 m
  • Frauen 0,047 m

Eine Faustformel besagt, dass bei Normalverteilungen rund 68% aller Werte innerhalb der Entfernung einer Standardabweichung nach oben und unten vom Mittelwert liegen.

Die Intervalle liegen im Beispiel bei

  • Männern zwischen 1,67 und 1,78 m (Mittelwert +-Standardabweichung)
  • Frauen zwischen 1,56 und 1,65 m

Bestätigt sich die Faustformel, wonach 68% der Werte in diesen Intervallen liegen?

  • Männer =ZÄHLENWENNS(Tabelle2!C13:C147;“>=1,67″;Tabelle2!C13:C147;“<=1,78″)/135 =72,59%
  • Frauen =ZÄHLENWENNS(Tabelle2!D13:D147;“>=1,56″;Tabelle2!D13:D147;“<=1,65″)/135 =72,59%

Zur anfänglich gestellten Frage, ob die Mittelwerte repräsentativ sind?

Beide Standardabweichungen sind niedrig, bei Männern 3,13% und bei Frauen 2,91% vom jeweiligen Mittelwert.

Über 72% aller Messwerte liegen innerhalb des Intervalls.

Die Mittelwerte können somit als repräsentativ angesehen werden.

 

Quelle:

[1] https://www.laenderdaten.info/durchschnittliche-koerpergroessen.php

 

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