Excel-Berechnungen am gleichschenkligen Dreieck (Teil 2)

In Teil 1 hatte ich die Berechnung der Winkel am gleichschenklig-rechtwinkligen und am gleichschenklig-nichtrechtwinkligen Dreieck sowie die Berechnung der Seiten am gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck erläutert.

dreieckgleich1

An dieser Stelle fahre ich fort.

2.2 Berechnung der Seiten am gleichschenklig-nicht rechtwinkligen Dreieck

Den Satz des Pythagoras kann ich hier nicht unmittelbar anwenden, denn er gilt nur am rechtwinkligen Dreieck.

Schaust du dir aber obige Zeichnung an, das Dreieck ist dort spitzwinklig, kann aber ebenso gut stumpfwinklig sein, siehst du die vom Eckpunkt C bis zum Punkt D auf Seite c herabführende Höhenlinie h. Diese Linie teilt das spitz- / stumpfwinklige Dreieck in zwei exakt gleich große rechtwinklige Dreiecke.

Jetzt lassen sich der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen wieder anwenden.

Ich will zunächst die Länge von h errechnen. Der Winkel Gamma soll 110° betragen, das Dreieck ist also stumpfwinklig.

Durch die Dreiecksteilung beträgt dieser Winkel für das linke Teildreieck die Hälfte davon, also 55°. Seite b ist mir mit der Länge 5 bekannt.

Ich rechne jetzt mit dem Cosinus von Gamma/2.

Gamma/2 ist =Ankathete / Hypothenuse

dreieckgleich5

Was ich noch nicht kenne, ist die Länge der Seite c. Nachdem mir die Länge der Höhenlinie h nun bekannt ist, kann ich so rechnen:

dreieckgleich6

3. Berechnung des Umfangs

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks lässt sich wie der Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks errechnen.

Dazu sind z.B. die Längen der Seiten a, b und c zu addieren, die ich unter 2.2 ermittelt habe:

dreieckgleich7

4. Berechnung des Flächeninhalts

Die Errechnung des Flächeninhalts eines gleichschenkligen Dreiecks ist auch nicht schwiering.

Unter 2.2 war die Seitenlänge von b und der Winkel Alpha bekannt. Die Berechnung erfolgt wie unter 2.2 ausgeführt.

dreieckgleich8

Durch die Höhe h wird das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke geteilt. Die Fläche eines Teildreiecks beträgt:

dreieckgleich9

5. Sonderfall gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat, wie der Name es schon sagt, drei gleiche Seiten.

Ist eine bekannt, sind alle bekannt.

dreieckgleich10

Der Umfang ist damit ganz leicht errechnet:

dreieckgleich11

Ein gleichseitiges Dreieck hat aber auch drei gleich große Winkel.

Die Winkel betragen immer 60°:

=180/3  =60

Die Fläche lässt sich nicht ganz so einfach errechnen. Ich brauche dazu die Höhe h, dazu nutze ich wieder den Satz des Pythagoras.

Die Seiten sollen, wie oben, 6 lang sein.

Ich rechne:

dreieckgleich12

und weiter

dreieckgleich13

Die Fläche des Beispieldreiecks beträgt rund 31,18.

Das Thema gleichschenkliges Dreieck kann ich nun beenden.

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