Excel-Berechnungen am gleichschenkligen Dreieck (Teil 1)

In einem ersten zweiteiligen Artikel zu Excel-Berechnungen am Dreieck habe ich dir Möglichkeiten am rechtwinkligen Dreieck aufgezeigt.

Als Thema für diesen, auch wieder zweiteiligen Artikel, habe ich das gleichschenklige Dreieck gewählt.

Als Sonderfall stelle ich das gleichseitige Dreieck mit den Berechnungsmöglichkeiten vor.

Excels‘ Winkelfunktionen SIN, COS, TAN und ARCSIN sind zunächst nur bei rechtwinkligen Dreiecken anwendbar. Ein gleichschenkliges Dreieck kann spitzwinklig, stumpfwinklig, aber auch rechtwinklig sein.

Ich muss deshalb diese Fälle unterscheiden:

  • gleichschenklig-rechtwinklig
  • gleichschenklig-nicht rechtwinklig (spitz oder stumpf)

Ist das Dreieck gleichseitig, kann es nur spitzwinklig sein. Es hat aber nicht nur drei gleiche Seiten, es hat auch drei gleiche Winkel.

Die folgende Abbildung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C, den Seiten a, b und c und den Winkeln α, β und γ.

dreieckgleich1   Quelle: ClipArt

Die Abbildung stellt ein spitzwinkliges Dreieck dar, gilt aber symbolisch ebenso für die beiden anderen Formen.

1. Berechnung der Winkel

1.1 Berechnung der Winkel am gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck

Die Summe aller Winkel eines Dreiecks ist 180°. Ich ziehe davon den rechten Winkel, also 90° ab und teile den Rest durch 2, denn ein gleichschenkliges Dreieck hat auch immer zwei gleiche Winkel.

=(180-90)/2  =45

Damit hat dieses Dreieck einen rechten Winkel mit 90° und zwei spitze Winkel mit je 45°.

1.2 Berechnung der Winkel am gleichschenklig-stumpfwinkligen oder gleichschenklig-spitzwinkligen Dreieck

In jedem Fall muss ich einen Winkel kennen, das Wissen um die Seitenlängen hilft gar nicht weiter. Wenn der Winkel Gamma bekannt ist, kann ich wie unter 1.1 rechnen:

=(180-Gamma)/2

Angenommen, Gamma ist stumpwinklig, z.B. 125°, errechnen sich Alpha und Beta so:

=(180-125)/2  =27,5

Ist Gamma spitzwinklig, z.B. 75°, rechne ich so:

=(180-75)/2  =52,5

Wenn der Winkel Alpha, z.B. mit 35° bekannt ist, Beta beträgt dann auch 35°, kann ich so rechnen:

=180-35-35  =110

Gamma beträgt dann 110°.

Ist es umgekehrt, als Beta ist mit 35° bekannt, rechne ich ebenso.

2. Berechnung der Seiten

2.1 Berechnung der Seiten am gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck

Bei dieser Form kann exakt so wie im Beitrag „Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck“ vorgegangen werden. Ich zeige hier deshalb nur eine Zusammenfassung.

Gegeben sei die Länge der Seiten a und b. Damit kann ich die Länge der Seite c ausrechnen.

Der Winkel Gamma soll der rechte Winkel mit 90° sein. Ich wende den Satz des Pythagoras an.

dreieckgleich2

Die Länge der Seite c ist dann jeweils:

dreieckgleich3

Das war noch einfach. Angenommen, es sind die Länge der Hypothenuse, Seite c, und der Winkel Gamma mit 90° bekannt. Die Seiten a und b sollen errechnet werden.

Bekannt ist auch, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck 180° ist. Damit kann ich die Winkel Alpha und Beta bestimmen:

dreieckgleich4

Die Seite a ist genauso lang wie Seite b:

=E129  =5

Damit habe ich die Länge aller Seiten vorliegen.

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